Matematické vzorce

$p_{0}=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\rho }{1-\rho ^{N+1}} &(\rho \neq 1) \\ & \\ \frac{1}{N+1} & (\rho =1) \end{matrix}\right.$

$p_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{(1-\rho)\rho ^{n}}{1-\rho ^{N+1}} &(\rho \neq 1) \\ & \\ \frac{1}{N+1} & (\rho =1) \end{matrix}\right.$

kde
$\rho =\frac{\lambda }{\mu }$

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

$L_{s}=L_{q}+\frac{\lambda _{eff}}{\mu }=L_{q}+\frac{\lambda (1-p_{N})}{\mu }$

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

$L_{q}=\left\{\begin{matrix} \frac{\rho }{1-\rho }-\frac{\rho (N\rho ^{N}+1)}{1-\rho ^{N+1}} & (\rho \neq 1)\\ & \\ \frac{N(N-1)}{2(N+1)} & (\rho =1) \end{matrix}\right.$

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

$W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda _{eff}}=\frac{L_{s}}{\lambda (1-p_{N})}$

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

$W_{q}=W_{s}-\frac{1}{\mu }$

Fronta typu (M|M|c):(GD|∞|∞)

Podmínka řešitelnosti

$\frac{\rho }{c}< 1, tj. \frac{\lambda }{\mu .c}< 1$

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

$p_{0}=\left [ \left (\sum_{0}^{c-1} \frac{\rho ^{n}}{n!} \right )+\frac{\rho ^{c}}{c!(1-\frac{\rho }{c})}\right ]^{-1}$
$p_{n}=\left\{\begin{matrix} (\frac{\rho ^{n}}{n!}).p_{0} & ... 0< n\leq c\\ \\ (\frac{\rho ^{n}}{c^{n-c}.c!}).p_{0}& ... n>c \end{matrix}\right.$

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

$L_{q}=\frac{c.\rho }{(c-\rho )^{2}}.p_{c}$

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

$W_{s}=W_{q}+\frac{1}{\mu }$

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

$W_{q}=\frac{L_{q}}{\lambda}$

Fronta typu (M|M|c):(GD|N|∞)

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

$p_{0}=\left\{\begin{matrix} \left [ \frac{r^{c}}{c!}\left ( \frac{1-\rho ^{N-c+1}}{1-\rho } \right )+ \sum_{n=0}^{c-1}\frac{r^{n}}{n!} \right ]^{-1} & (\rho \neq 1),\\ & \\ \left [ \frac{r^{c}}{c!}(N-c+1)+\sum_{n=0}^{c-1}\frac{r^{n}}{n!} \right ]^{-1} & (\rho = 1 ) \end{matrix}\right.$

$p_{n}=\left\{\begin{matrix} \frac{\lambda^{n}}{n!\mu ^{n}}p_{0} & (0\leq\ n< c),\\ & \\ \frac{\lambda ^{n}}{c^{n-c}c!\mu ^{n}}& (c\leq n\leq N ) \end{matrix}\right.$

kde
$r =\frac{\lambda }{\mu }$
$\rho =\frac{r}{c}=\frac{\lambda }{c\mu }$

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

$L_{s}=L_{q}+\frac{\lambda _{eff}}{\mu }=L_{q}+\frac{\lambda (1-p_{N})}{\mu }$

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

$L_{q}=\left\{\begin{matrix} \frac{p_{0}.r^{c}}{2c!}\left [(N-c+1)(N-c)\right ] & ...\rho = 1\\ & \\ \frac{p_{0}.r^{c}.\rho }{c!(1-\rho )^{2}}\left [ 1-\rho ^{N-c+1}-(1-\rho )(N-c+1)\rho ^{N-c} \right ] & ...\rho\neq 1 \end{matrix}\right.$

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

$W_{s}=\frac{L_{s}}{\lambda _{eff}}=\frac{L_{s}}{\lambda (1-p_{N})}$

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

$W_{q}=W_{s}-\frac{1}{\mu }$

Literatura

B. Fajmon, I. Růžičková - Matematika 3, Skripta VUT
D. Gross, J.F. Shortle, J.M. Thompson, C.M. Harris - Fundamentals of queueing theory, Nakladatelství: John Wiley & Sons, 2008,ISBN 978-0-471-79127-0

Fronta typu (M|M|1):(GD|∞|∞)

Podmínka řešitelnosti

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

Fronta typu (M|M|1):(GD|N|∞)

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

Fronta typu (M|M|c):(GD|∞|∞)

Podmínka řešitelnosti

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě

Fronta typu (M|M|c):(GD|N|∞)

Pravděpodobnost, že v ustáleném stavu je v systému (=frontě + obsluze) právě n zákazníků

Očekávaný (střední, průměrný) počet zákazníků v systému

Očekávaný počet zákazníků ve frontě

Očekávaná doba strávená zákazníkem v systému

Očekávaná doba strávená zákazníkem ve frontě